Найбільше число — гугол

Американський математик Кастнер, щоб залучити своїх учнів до маніпулювання великими числами, винайшов «найбільше» число, назвавши його гугол. Це одиниця зі ста нулями, тобто 10100. Хоча натуральний ряд чисел — нескінченний і, в принципі, не можна назвати таке велике число, до якого ми не могли б додати хоча б одиницю, щоб воно стало ще більше, однак гугол у певному сенсі являє собою межу обчислювального світу. Річ у тім, що у всьому Всесвіті неможливо знайти гугол хоч би чого. Навіть найбільш швидкодіючий комп’ютер не міг би за весь час існування Всесвіту досягти гугола шляхом простого додавання: 1+1+1+1... Хоча буквально за пару хвилин комп’ютер може прийти до нього шляхом геометричної прогресії. Але в останньому випадку він рахує, власне, не реально існуючі об’єкти або явища (імпульси струму у своїх схемах), а математичні концепції.

Але давайте поміркуємо: невже в навколишньому світі немає нічого такого, кількість чого виражалася б числом 10100? Неймовірно! Спробуємо подати площу Землі в квадратних міліметрах. Знаючи, що площа великої квартири — 50 000 000 кв. мм, можна було б у випадку Землі сподіватися на дуже велику цифру. Але ні, поверхня нашої земної кулі не перевищує 5·1020 кв. мм. Це ще далеко не гугол. Візьмемо обсяг, тоді цифра буде більше — 1030 куб. мм, але й це дуже мале число порівняно з гуголом.

Щоправда, кубічний міліметр — обсяг головки шпильки — це досить велика одиниця виміру. У такому обсязі вміститься десять піщинок. А скільки б піщинок умістилося в об’ємі земної кулі? Усього лише 103.

Виходить, для гугола наша Земля — занадто мала. А якщо звернутися до безмежних просторів Космосу і спробувати висловити відстань між зірками в мікрометрах (мікрометром відповідно до прийнятої сьогодні системи одиниць СИ називається колишній мікрон, тисячна частка міліметра) або навіть ангстремах — десятимільйонних частках міліметра. Зазвичай міжзоряні відстані вимірюють у світлових роках (відстань, що її проходить промінь світла за рік, — це приблизно 9,5 трильйона кілометрів). Виразимо світловий рік в ангстремах — виходить 1026. До найближчих зірок — усього близько 1027 ангстремів. Перейдемо до найвіддаленіших галактик. Відстань до них, виражена в найменшій одиниці довжини, не перевищує 6·1035 ангстремів.

Припустімо, що Всесвіт має обмежений розмір (що, втім, ще не доведено), і порівняємо з цим найбільшим фізичним об’єктом, відомим нам, один з найменших об’єктів, досліджуваних фізикою, — атомне ядро. Співвідношення між ними — всього 1040. Це — також не гугол. Зараз ми побачимо, що 1040 — практично межа всього, що піддається підрахункові у Всесвіті.

Тепер перейдемо до часу. Розрахуємо вік Всесвіту в найменшій одиниці часу, що має фізичний сенс. Найкоротший час, що ми візьмемо для цього розрахунку, — це та мить, що знадобиться променеві світла, щоб перетнути поперечник атомного ядра. Виходить, що вік Всесвіту в цих одиницях — теж 1040.

Поки ми розглянули тільки лінійні розміри нашого Всесвіту і тимчасові його межі. Візьмімо тепер силу. Відомо, що Земля й інші планети тримаються навколо Сонця силою тяжіння. Ця сила приковує нас до землі, забезпечує зчеплення частинок у тілі Землі й інших планет, керує рухом супутників, зірок у нашій та інших галактиках.

А от ядра атомів тримаються в основному електричним притяганням: ядро з його позитивним зарядом притягує негативно заряджені електрони. Але закон гравітації загальний, тому між ядром і електронами існує і сила тяжіння, хоча вона дуже мала в даному випадку, бо вкрай мала маса цих тіл. Отож в атомі, що складається з протона й електрона, співвідношення між електростатичною силою і силою гравітації дорівнює тому ж числу — 1040.

Спробуємо підрахувати кількість усіх атомних частинок, що існують у нашому Всесвіті, — протонів, нейтронів, електронів, а також нейтрино і фотонів, що не мають маси. Навіть у порошині — мільярди елементарних частинок, а у всьому Всесвіті їх 1088 — мільйонна мільйонної частини гугола.

Звичайно, можна було б підрахувати кількість електронів, необхідну для того, щоб заповнити Всесвіт, і тоді ми вийдемо за межі гугола. Але це було б уже суто математичною фантазією — адже, як уже сказано, у світі всього 1088 частинок. Можна було б вийти за межі гугола, підрахувавши обсяг Всесвіту в кубічних міліметрах або навіть кубічних ангстремах, але ми говоримо про кількість реально існуючих об’єктів, а не про довільно обрані людиною одиниці міри. Гугола немає у Всесвіті.

Досі ми розглядали тільки статистичні величини: довжину, об’єм, кількість частинок. Цікаво торкнутися і динамічних — наприклад, енергії. Енергія, випромінювана всіма зірками Всесвіту, повинна бути дуже велика, але навіть виражена в мікроватах, вона не досягає і 1040. Навіть якщо розрахувати, скільки енергії вкладено у всій матерії Всесвіту, то й гугол залишається недосяжним.

Утім, що ж тут дивного? Адже це — найбільше число. Число, яке придумала людина.